venerdì, agosto 14, 2009

Euclide e le assurdità primordiali


Chi per studio, lavoro o per semplice passione si occupa di algebra, molto presto si trova di fronte al teorema sull'infinità dei numeri primi, quei numeri che risultano divisibili soltanto per se stessi e per 1. Ad esempio 1,2,3,5,7,11,13,17, ...

Per quanto aridi possano sembrare, sono i mattoni dell'aritmetica e su di essi si basa l'intera Teoria dei Numeri. Senza di essi e senza la scienza pura e computazionale al loro contorno, sarebbe impossibile leggere DVD, e soprattutto non si potrebbero fare transazioni finanziarie telematiche sicure (nonchè una miriade di altre cose che diamo per scontate).

Gli antichi Greci si erano già occupati di questi numeri; al punto che il teorema che ne sancisce l'infinità è attribuito a Euclide (III secolo a.C. ) . La domanda è: nell'infinità dei numeri naturali, i numeri primi sono anch'essi infiniti? Oppure, ad esempio, da un certo punto in poi, diventano sempre più "rari", fino a sparire?

Ripercorriamo a grandi linee la dimostrazione "classica", che secondo me è un concentrato di semplicità e potenza, e per questo non smette di affascinarmi. La tecnica è quella della "riduzione all'assurdo". Supponiamo che i numeri primi siano finiti, e sia N il loro numero. Possiamo allora costruire un altro numero, definito come il prodotto tra essi, aumentato di uno. Cioè, costruiamo Y = n(1)*n(2)*...*n(N) + 1 . Domanda: Y è primo o no? Non essendo (per come è costruito) divisibile per nessun numero primo [il resto è sempre 1] ne consegue che Y è anch'esso primo. Con questo contraddiciamo l'ipotesi, secondo cui i numeri primi erano finiti di "numerosità" N [in realtà, per essere completi bisognerebbe sviluppare a parte un risultato un po' più articolato, che è il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica, applicato nella divisione su Y]

Che cosa c'entra questa divagazione matematica? Proviamo a pensare a situazioni meno "scrutabili" dei teoremi di base e dei problemi fisici del singolo punto materiale. Ad esempio, ai sistemi dinamici: interazioni fra più particelle, reazioni chimiche simultanee, diverse prede e più predatori in un habitat, fenomeni migratori e di nascita/morte, e via dicendo.

Secondo alcune correnti di pensiero non esiste il problema dei limiti delle risorse. Per assurdo, assumiamo che sia così. Se così fosse, le risorse minerarie e alimentari potrebbero essere estratte e distribuite in modo via via più omogeneo su tutte le nazioni, con flussi generali crescenti, realizzando un "sogno americano worldwide". Poichè la realtà non è questa (anzi ci sono controtendenze che fanno aumentare la forbice tra chi ha e chi non ha, e i sistemi economici stanno vacillando in modo vistoso) ne deduciamo la falsità dell'ipotesi. Naturalmente la realtà è per definizione ben più complessa, ma come modello-scheletro mi sembra che ci stiamo dentro.

Sarà un po' arida, ma a volte la logica aiuta. Se non altro, per constatare che siamo "ridotti all'assurdo" non solo da un punto di vista astratto, ma anche fisico!

7 commenti:

Anonimo ha detto...

ti risponderanno che la fame e il male nel mondo e' colpa dei politicanti corrotti e del complotto massonico/bolscevico (che poi i massoni sono votati pure da un sacco di gente in italia ).. .sono loro i cattivoni che prevengono la realizzazione del paradiso in teraa , mica dei limiti fisici ben precisi ... quelli _NON ESISTONO! _

Frank Galvagno ha detto...

In effetti, caro anonimo, le cose stanno così. E' proprio perchè le risorse sono finite che i cattivoni di turno possono fare del loro meglio per generare accaparramenti da parte di chi è più "forte" politicamente...

Noel ha detto...

A proposito di risorse, un altro esempio di chi basa tutto sulle teorie economiche

http://www.ilsole24ore.com/art/SoleOnLine4/Finanza%20e%20Mercati/2009/08/analista-petrolio-10-dollari.shtml?uuid=288769c0-882c-11de-873c-ca3137183d57&DocRulesView=Libero

Anonimo ha detto...

In matematica sono uno scarpone lesso, ma mi pare leggermente dura che, di due insiemi supposti infiniti, uno possa essere più piccolo dell'altro. Eppure, è proprio quel che pare accadere ai due insiemi dei numeri primi e non: entrambi possono crescere fino all'infinito, ma quello dei numeri primi rimane sempre "indietro" (i numeri primi sono un sottoinsieme dei numeri nel loro complesso), per cui pur essendo anch'esso infinito non potrà mai eguagliare in dimensioni l'altrp insieme e, anzi, ne risulterà un sottoinsieme. Un infinito contenuto in un altro infinito di proporzioni maggiori? E' un assunto colmo di contraddizioni. Come la mettiamo?

Frank Galvagno ha detto...

beh, sì, quando si opera con gli insiemi cosidetti "infiniti", risultati operativi e senso comune stridono e non poco. Lo stesso George Cantor, tra i fondatori della moderna teoria degli insiemi numerici, esclamava "lo vedo, ma non lo credo".
Per fare ulteriori esempi, sempre rimanendo negli infiniti "numerabili" possiamo pensare ai numeri dispari. L'insieme dei numeri dispari è la "metà" dei naturali, ma continua ad essere infinito. Esiste poi tutta la trattazione sulla "potenza" dell'infinito...

Senza andare troppo fuori OT, queste argomentazioni mi sembrano sufficienti a mostrare che l'infinito, per quanto riguarda la disponibilità nell'accesso a materia e energia non appartiene al sistema Terra ... :-)

zippole ha detto...

proprio come dici tu, i numeri primi "restano indietro". Ossia introduci la variabile del tempo che trascorre per l'osservatore. Supponendo di enumerarli, ad un certo punto ci si ferma e si nota che i primi sono di meno rispetto ai divisibili. Tuttavia stiamo paragonando 2 sistemi limitati, ossia quello dei _numeri osservati_ primi e non. Fuori da questo contesto non vedo il paradosso, sarebbe come considerare il sistema infinito dei fotoni (si l'esempio non e' corretto, ma l'infinito in natura e' ancora da dimostrare credo) e stranirsi del fatto che esso escluda i protoni. Sono esclusi a priori, e non sono di meno se presi tutti assieme.

Frank Galvagno ha detto...

Zippole, sono d'accordo che i primi "restino indietro", ossia, scelto un intervallo finito su N, la numerosità dei primi è inferiore alla numerosità di tutti i naturali racchiusi.

La cosa astratta è che sia i primi che i naturali rientrano nei cosidetti "insiemi numerabili", ossia possono essere messi in corrispondenza con N. Per "aumentare di densità" i numeri è necessario passare alla potenza del continuo (numeri reali, che inglobano gli irrazionali).

Mi rendo conto che sono cose abbastanza astratte, dall'utilità non immediatamente visualizzable ... :-)