Giochi, ramificazioni e complessità

Quando un gruppo di ragazzi si trova per giocare a calcetto (o a qualunque altro sport), succede spesso che una parte non trascurabile del pomeriggio venga “sciupata” nel decidere come formare le squadre. Entrano in gioco amicizie, simpatie e antipatie, feeling nel costruire le azioni e svariate cose di questo tipo.

La complessità delle relazioni sociali è evidente da subito, anche senza fare ulteriori approfondimenti sui meccanismi di base; tuttavia, in questo post vorrei far emergere il fatto che la complessità per potersi manifestare ha bisogno di un substrato favorevole [flash back: per analogia, in questo post avevo individuato la scarsità delle risorse come il sottobosco ideale per l’insorgere di fenomeni speculativi]

Bene, nella stragrande maggioranza dei casi tale substrato è costituito dalla presenza di ‘grandi’ numeri, in grado di generare una varietà combinatoria impressionante; a titolo di esempio, esiste un settore scientifico relativamente giovane, quello della meccanica statistica, che si occupa specificamente di derivare le proprietà macroscopiche (termodinamiche) dei corpi a partire da quelle microscopiche delle molecole costituenti.

Se una persona si trova con un amico per giocare a ping pong, il tempo necessario per “formare le squadre” è banalmente 0 (una sola configurazione). Se si trovano 4 amici (Claudio, Gianni, Terenzio e Ugo) per un doppio sempre a ping pong, occorrerà verosimilmente una manciata di secondi per decidersi sulle coppie. Possiamo fare rapidamente l’elenco dei 3 possibili “incontri”:

1. Claudio e Gianni        vs     Terenzio e  Ugo

2. Claudio e Terenzio    vs      Gianni    e  Ugo

3. Claudio e Ugo          vs      Terenzio e  Gianni

Torniamo un attimo all’esempio della partita di calcetto: supponiamo che ci siano 10 ragazzi che vogliano suddividersi in 2 squadre da 5. In questo caso scrivere “a mano” l'elenco delle possibili situazioni (senza l’ausilio di un calcolatore che esplori tutti i casi) diventa piuttosto arduo.

Possiamo determinare il numero di situazioni possibili ricorrendo al calcolo combinatorio.

Dato un insieme di N persone che si suddividono in k squadre di ugual numero (che avranno pertanto dimensione n=N/k), il n° complessivo di situazioni diverse possibili si ottiene ricorrendo a quelle che in combinatoria si chiamano “permutazioni con elementi ripetuti”.

Il problema è abbastanza simile a quello dell’anagramma di una stringa che contiene tante lettere diverse quante sono le squadre (k), ciascuna ripetuta n volte. C’è poi una piccola “complicazione” in più, che consiste nel fatto che si hanno situazioni equivalenti se si hanno permutazioni “in blocco” tra le squadre.

Pertanto, l’espressione combinatoria è

                                                   N !

Numero di situazioni   =        __________

                                            ( n ! )^k  *  k!

dove con ! denotiamo l’operatore Fattoriale. N! = N*(N-1)*(N-2)* … *… 2 * 1

e il simbolo ^ è quello dell’elevamento a potenza.

[mi scuso per la forma "artigianale", ma Blogger non permette formattazioni di questo tipo]

Al di là dei formalismi, la cosa interessante da vedere è che si tratta di una formula “esplosiva”, che aumenta molto rapidamente al crescere di N. Se proviamo a mettere la formula in un foglio di calcolo ci accorgiamo che, nel nostro caso dei 10 ragazzi, il numero possibile di configurazioni è 126. E’ già un valore discretamente alto per far perdere al gruppetto un po’ di tempo nella formazione delle squadre, in mancanza di un “decisore” esterno o di squadre predefinite.

Se i ragazzi non sono 10 ma 22, e vogliono giocare a calcio a 11 (2 squadre), le possibili giocate sono 352.716.

Se abbiamo invece 21 ragazzi che vogliono giocare a calcio a 7 con una terna di squadre, avremo 66.512.160 possibilità.

Se N è 30 o più, si arriva rapidamente a enumerazioni dell'ordine dei miliardi di miliardi.

Naturalmente, si tratta di un esercizio teorico di combinatoria; personalmente ritengo che sia affascinante e che richieda un minimo di abitudine all'astrazione e un po' di esercizio con l'aritmetica degli interi per essere apprezzato. Se pensiamo però al fatto che è solo un’impalcatura per tutta la complessità che viene dopo, ci rendiamo conto che la varietà del mondo reale è incommensurabile, nonché di difficile previsione.

I giocatori non sono macchine e non basta conoscere la configurazione generale per stabilire a priori i rapporti di forza tra le squadre. A parità di giocatori, una squadra può essere più o meno forte a seconda delle condizioni generali della squadra in un certo periodo, un giocatore può fare la differenza se è “ispirato”, una coppia di attaccanti veloci con particolare feeling possono diventare un rullo compressore, e cose di questo genere.

Per quanto possa dare l’impressione di fornire un controllo completo della situazione, il calcolo combinatorio è solo uno strumento di “forza bruta” che va molto bene laddove il problema è relativamente “semplice” e simmetrico per poter essere esplorato, ma che nel caso di sistemi reali (dinamica delle risorse, macroeconomia, clima …) deve essere integrato o addirittura sostituito  con tecniche probabilistico-statistiche e metodi a reti neurali, con uso praticamente obbligatorio di supercalcolatori*.  Senza contare tutta la parte, fondamentale, di osservazioni sul campo, misure ed esperimenti.

* Può essere interessante notare che tra le applicazioni dei più potenti cluster di calcolatori figurano la meteorologia e la prospezione petrolifera (oltre alle immancabili applicazioni militari)


PS   Riallacciandomi ad alcuni commenti del post precedente:  nè Aspo nè altri possono predire con probabilità = 1 l'anno, e magari anche il mese e il giorno del picco globale del petrolio. Ma il warning che lanciamo come associazione è il concetto in sè. Un picco "largo" 5 anni, su una vita stimata del petrolio di circa 300 anni, non è assolutamente un'ovvietà   :-)